分划

根据戴德金定理,若将全部的有理数所构成的集合分拆为两个非空集合(即其中至少包含一个数的集合)$ A $、$ A’ $,当它们满足下列条件时,则集合$ A $称为分划的下组,集合$ A’ $称为分划的上组,分划记为$ A | A’ $。

  1. 任一有理数,必在且仅在$ A $及$ A’ $二集合之一中出现。
  2. 集合$ A $内的任一数$ a $,必小于集合$ A’ $内的任一数$ a’ $。

且由分划的定义可推得,小于下组内的数$ a $的一切有理数也都属于下组;大于上组内的数$ a’ $的一切有理数都属于上组。

例子

  1. 存在一个数$ x $,一切满足不等式$ a < r $的有理数$ a $,构成集合$ A $;一切满足$ a’ \geqslant r $的有理数$ a’ $,构成集合$ A’ $。则可以看出,数$ r $属于上组$ A’ $,且显然为其最小的数。另外,下组$ A $无最大的数,因在$ A $中任取一个数$a $,都可在$ a $与$ r $之间找到有理数$ a_1 $,满足$ a < a_1 < r $,且属于下组$ A $。
  2. 取小于或等于$ r $的一切有理数$ a $($ a \leqslant r $),归入下组$ A $;取一切大于$ r $的有理数$ a’ $($ a’ \geqslant r $),归入上组。可得到一分划,其上组无最小数,下组有最大数$ r $。
  3. 因不存在有理数使$ a^2 = 2$,可取使$ a^2 < 2 $的一切正有理数$ a $、数0以及一切负有理数归入下组$ A $;使一切$ a’^2 > 2 $的正有理数$ a’ $归入上组$ A’ $。可得到一分划,其上组$ A’ $无最小数,下组$ A $也无最大数。

无理数的引入

显然,不可能存在一个分划,其下组内有最大值$ a_0 $,同时其上组内有最小值$ a’_0$。假设存在这样的分划,根据有理数域的稠密性(任意两个有理数$ a $、$ b $,若$ a > b $,则必能求得一数$ c $使$ a > c $且$ c > b $),必能得到一个位于$ a_0 $、$ a’_0 $之间的有理数$ c $($ a_0 < c < a’_0 $)。但数$ c $不属于$ A $组($ a_0 < c$),且不属于$ A’ $组($ c < a’_0 $),这与分划的概念相矛盾。

根据上文,可以得知分划仅存在以下三种类型:

  1. 在下组$ A $中无最大数,而在上组$ A’ $中有最小数$ r $;
  2. 在下组$ A $中有最大数$ r $,而在上组$ A’ $中无最小数;
  3. 在下组内无最大数,在上组中也无最小数。

在前两种情况中,分划由有理数$ r $所产生,$ r $称为集合$ A $与$ A’ $之间的界数,或者称为分划定义有理数$ r $。而在第三种情况中不存在界数,分划不定义任何有理数,于是便引入了新的对象——无理数。任一3型的分划定义某一无理数$ \alpha $,此数代替缺少的界数,存在于$ A $组的一切数$ a $以及$ A’ $组的一切数$ a’ $之间。例如在例子3中,该无理数便是$ \sqrt{2} $。